Современная экологическая обстановка в отдельных странах и регионах оставляет желать лучшего. Миссия нашего сайте — обеспечить русскоязычных жителей планеты Земля актуальной информацией о защите окружающей среды, экологической безопасности и экологии в целом.

Полезные ресурсы и публикации:
-

Д.А. Кривошеин, Л.А. Муравей, Н.Н. Роева, О.С. Шорина, Н.Д. Эриашвили, Ю.Г. Юровицкий, В.А. Яковлев
Экология и безопасность жизнедеятельности

Учебное пособие для вузов / Под ред. Л.А. Муравья. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 447 с.

Предыдущая

Раздел 3. Моделирование в экологии

Глава 11. Оптимизационные и игровые модели

11.3. Игровые модели

Часто возникают ситуации, в которых различные участники имеют не совпадающие между собой интересы. Математические модели и методы для исследования таких так называемых конфликтных ситуаций получили название теории игр [18].

Приведем простейшие понятия и результаты этой теории. Под словом «игра» понимается совокупность правил, руководствуясь которыми игроки-участники принимают решения. Предположим, что результатом игры является плата, которую в соответствии с правилами проигравший участник платит выигравшим. Для простоты ограничимся сначала так называемыми «играми двух лиц с нулевой суммой». Для того чтобы полностью определить такую игру, нужно задать таблицу платежей – платежную матрицу, например, следующую матрицу размера 3х4:

Эта запись означает, что игрок А выбирает одну из строк этой матрицы, а игрок В, не зная выбора А, выбирает один из столбцов матрицы. Число на пересечении выбранных строки и столбца определяет выигрыш первого игрока (соответственно проигрыш второго). Например, если А выбрал вторую строку, а В – третий столбец, то А выиграл 5 единиц, а В их проиграл. Если же А выбрал третью строку, а В – второй столбец, то А проиграл 2 единицы, а В их выиграл.

Будем считать, что цель каждого из игроков состоит в максимизации наименьшего возможного выигрыша (соответственно минимизации наибольшего возможного проигрыша). Основной вопрос, возникающий в теории игр: существует ли наилучший способ игры у каждого из игроков, т. е. имеются ли у них оптимальные стратегии.

Прежде чем сформулировать ответ, вернемся к рассматриваемой матрице. Сразу видно, что игроку А выгоднее всего выбрать первую строку, так как все ее элементы больше соответствующих элементов остальных строк. Точно так же игроку В выгоднее всего выбрать второй столбец, так как все элементы этого столбца меньше соответствующих элементов остальных столбцов. Следовательно, в данном примере оптимальными стратегиями будут следующие: для А – выбор первой строки, а для В – выбор второго столбца. Число 4, стоящее на пресечении первой строки и второго столбца, носит название цены игры, т. е. платы, которую получает оптимально играющий игрок. Таким образом, в этом примере гарантированный выигрыш А – не менее 4-х единиц и гарантированный проигрыш В – не более 4-х единиц (он равен 4 единицам, если оба игрока играют оптимально).

Если оказывается, что для данной платежной матрицы минимум в какой-либо строке совпадает с максимумом в каком-либо столбце, то эти строка и столбец называются оптимальными, а их пересечение – седловой точкой платежной матрицы. Соответствующее число и будет ценой игры.

Однако далеко не каждая матрица имеет седловую точку, например, матрица  седловой точки не имеет. Говорить здесь о максимизации наименьшего возможного выигрыша (минимизации наибольшего возможного проигрыша) возможно только при использовании так называемой смешанной стратегии при многократной игре с одной и той же платежной матрицей. Суть этой стратегии заключается в выборе разных стратегий с определенными частотами. Итак, пусть А выбирает первую строку с частотой х, а вторую – с частотой (1 – х). Аналогично для В соответствующие частоты обозначим через у и (1 –у). Тогда средний выигрыш А, обозначаемый через Е (х, у), равен

Е(х,у)=4(1-х)у+х(1-у)=х+4у-5ху.             (11.17)

Нас интересует величина max min E(x,y). Имеем

x         y

Еу=4-5х,                 (11.18)

откуда Еу>0 при , Ey=0 при х= и Еу<0 при . Значит,

(график на рис. 11.7). Следовательно,

                     (11.19)

и оптимальной смешанной  стратегией для А будет выбор первой строки с частотой  и второй строки – с частотой . Средний проигрыш В, обозначаемый F(x,y), очевидно равен –Е (х, у). Нас интересует величина где

F(x,y)=5xy-x-4y.                 (11.20)

Имеем Fx=5y-1, откуда Fx< 0 при , Fx = 0 при y = и Fx>0 при < у ≤ 1. Значит,

(график на рис. 11.8). Следовательно,

                  (11.21)

и оптимальной стратегией для А будет выбор первого столбца с частотой  и второго столбца – с частотой .

При оптимальных смешанных стратегиях выигрыш А и соответственно проигрыш В в пять раз меньше максимально возможного при одиночной игре.

Отметим также, что в рассмотренном примере мы показали существование оптимальных стратегий и установили равенство

;                (11.22)

при  этом  величину  Е(х,у)  можно  трактовать как математическое ожидание выигрыша, а величину v = определить как цену игры.

Рассмотрим теперь общий случай прямоугольной матрицы

.

При любой допустимой стратегии игрока A: x1 ≥ 0, ...,хm ≥ 0, x1 +x2+…+xm=1 и любой допустимой стратегии игрока В: y1 ≥ 0, ...,ym ≥ 0, y1 +y2+…+ym=1 математическое ожидание выигрыша равно

                 (11.23)

Множество допустимых стратегий x = (x1,…,xn) игрока А обозначим через X, а множество допустимых стратегий у=(у1,...,yn) игрока В обозначим через Y.

Рассмотренные выше примеры являются частными случаями общих теорем [18] для игр с прямоугольными матрицами (прямоугольными играми); из них, в частности, вытекает:

1. Величины  существуют и равны между собой; при этом величина

                (11.24)

является ценой игры.

2. Всякая прямоугольная игра имеет цену; каждый игрок в прямоугольной игре всегда имеет оптимальную стратегию.

3. Пусть Е – математическое ожидание выигрыша в прямоугольной игре с матрицей С, имеющей цену v. Тогда для того, чтобы элемент х* =(х1*,...,х*m)Î Х был оптимальной стратегией для игрока А, необходимо и достаточно, чтобы для всякого j =1, 2,...,n базисного вектора y(j) =  имело место неравенство

v ≤ E (x*, y(j)).                     (11.25),

Аналогично для того чтобы элемент у* =(y*1,...,y*n)ÎY был оптимальной стратегией для игрока В, необходимо и достаточно,  чтобы для  всякого элемента  базисного  вектора x(i) =  имело место неравенство

E (x(i), y*) ≤ v.                     (11.26)

Покажем теперь на двух примерах, как можно применить эти утверждения для вычисления цен и определения оптимальных стратегий для прямоугольных игр. В качестве таких примеров рассмотрим стратегии ловли на удочку и питания рыбы[2].

Представим себе, что существование такого вида рыб, питающихся у поверхности воды, зависит от наличия трех видов летающих насекомых, которые обозначим через т12 и m3 соответственно; насекомые появляются в зоне захвата с частотами 15п, 5п и п (т. е. насекомых т2 в 5 раз больше чем m3, а насекомых т1 в 3 раза больше чем т2).

Допустим, что рыбак В ловит рыбу А на насекомых одного из этих видов, насаживая их на крючок. Тогда матрица стратегий С ловли на удочку и питания рыб имеет следующий вид (табл. 11.1):

На основании изложенных утверждений достаточно найти неотрицательные числа х123, y1,y2,y3 и число, удовлетворяющее следующим условиям:

x1+x2+x3=l,        y1+y2+y3=1,                    (11.27)

v ≤ -2x1,             -2y1   v,

v ≤ -6x2,             -6у2   v,

v ≤ -30x3,         -30у3v.

Заменим последние шесть неравенств на равенства. Тогда имеем

х11=,    x2=y2= x33=.                        (11.28)

Подставляя эти значения в равенства (11.27), получим

v =.                 (11.29)

.              (11.30)

               (11.31)

Таким образом, цена игры для рыбы будет отрицательной и равной . Она показывает, что в конце концов рыба будет поймана. При этом оптимальная стратегия рыбака совпадает со стратегией питания (также оптимальной) рыбы и оптимальная стратегия уменьшает вероятность поимки рыбы в каждом конкретном случае.

Несколько усложним задачу. Предположим, что рыболов иногда использует приманку т4, которая может быть принята по ошибке за одно из трех насекомых, но которая вдвое чаще вызывает подозрение у рыб. Тогда матрица С стратегий ловли на удочку и питания рыб примет вид табл. 11.2:

Теперь достаточно найти неотрицательные числа х123, y1,y2,y3,y4 и число v, удовлетворяющие следующим условиям:

x1+x2+x3=l,                    y1+y2+y3+y4=1,              (11.27)

v ≤ -2x1,                           -y4 –2y1 v,

v ≤ -6x2,                         -3y4 – 6у2 v,

v ≤ -30x3,                     -15y4 30у3v.

v ≤ -x1 –3x2 –15 x3

Левая система неравенства переопределена, а правая недоопределена (в левой неизвестных больше, чем неравенств, а в правой меньше). Заметим, что если последнее неравенство в правой колонке

-15y4 30у3v. будет выполнено при у3=0, то оно будет выполнено и при всех у3>0. Следовательно, полагая у3 = 0, правую систему неравенств можно заменить системой трех линейных уравнений

-y4 –2y1 = v,            -3y4 – 6у2 = v,              -15y4 30у3 = v

с тремя неизвестными y1, у2, у4. Ее решение, очевидно, имеет вид

Подставляя полученные выражения в равенство (11.32), где у3 =0, получим , т. е. цена игры для рыбы отрицательна и равна

,                  (11.33)

что несколько меньше, чем в предыдущем случае. Оптимальная стратегия рыбалки имеет вид

                        (11.34)

Изучим теперь оптимальную стратегию для рыбы, так как у3, = 0, то и x3 = 0, т. е. насекомые m3 слишком опасны для жизни. Тогда из системы четырех неравенств выпадают третье и четвертое, которое при x3 = 0 является следствием двух первых (их полусуммой). Таким образом, для определения x1, х2 и v имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными

x1 + x2 + x3 = 1,   v = -2x1,   v = -6x2,

откуда

и, с учетом x3 = 0,

                  (11.35)

Значит, оптимальная стратегия для рыбы равна

                   (11.36)

цена же ее в силу (11.35) равна , т. е. совпадает с (11.34), что, вообще говоря, вытекает из общей теории.

Модели, основанные на теории игр, представляют собой интересный, но пока еще недостаточно изученный подход к решению стратегических экологических задач. Разработка теории для более сложных игр с ненулевой суммой и игр многих лиц, где между игроками могут создаваться коалиции, должна найти эффективное применение в экологических проектах, связанных с планированием и оценкой различных воздействий на окружающую среду.



[2] Идея примера взята из книги Вильямса [8], которая также может служить хорошим введением в теорию игр.

Предыдущая