Автор: А.И.Орлов
ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТЬЮ
5. Экспертные методы принятия решений в экологии
5.5. Современная теория измерений и экспертные оценки
5.5.2. Инвариантные алгоритмы и средние величины
Основное требование к алгоритмам анализа данных формулируется в РТИ так: выводы, сделанные на основе данных, измеренных в шкале определенного типа, не должны меняться при допустимом преобразовании шкалы измерения этих данных. Другими словами, выводы обязаны быть инвариантными по отношению к допустимым преобразованиям шкалы.
Таким образом, одна из основных целей теории измерений — борьба с субъективизмом исследователя при приписывании численных значений реальным объектам. Так, расстояния можно измерять в аршинах, саженях, верстах, метрах, микронах, милях, парсеках и других единицах измерения. Массу (вес) — в пудах, килограммах, фунтах и др. Цены на товары и услуги можно указывать в юанях, рублях, тенге, гривнах, латах, кронах, марках, тугриках, долларах США и других валютах (при условии заданных курсов пересчета). Подчеркнем очень важное, хотя и вполне очевидное обстоятельство: выбор единиц измерения зависит от исследователя, т.е. субъективен. Статистические выводы могут быть адекватны реальности только тогда, когда они не зависят от того, какую единицу измерения предпочтет исследователь, т.е. когда они инвариантны относительно допустимого преобразования шкалы.
В качестве примера рассмотрим обработку мнений экспертов, измеренных в порядковой шкале. Пусть Y1, Y2,…,Yn — совокупность оценок экспертов, "выставленных" одному объекту экспертизы (например, одному из вариантов стратегического развития фирмы), Z1, Z2,…,Zn — второму объекту экспертизы (другому варианту такого развития).
Как сравнивать эти совокупности? Очевидно, самый простой способ — по средним значениям. А как вычислять средние? Известны различные виды средних величин: среднее арифметическое, медиана, мода, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратическое. Обобщением нескольких из перечисленных является среднее по Колмогорову. Для чисел X1, X2,…,Xn среднее по Колмогорову вычисляется по формуле
G{(F(X1)+F(X2)+…F(Xn))/n},
где F — строго монотонная (т.е. строго возрастающая или строго убывающая) функция, G — функция, обратная к F (т.е. такая, что G(F(x))=x, f(G(y))=y). Среди средних по Колмогорову — много хорошо известных персонажей. Так, если F(x) = x, то среднее по Колмогорову — это среднее арифметическое, если F(x) = ln x, то — среднее геометрическое, если F(x) = 1/x, то — среднее гармоническое, если F(x) = x2, то — среднее квадратическое, и т.д. С другой стороны, такие популярные средние, как медиана и мода, нельзя представить в виде средних по Колмогорову.
Напомним, что общее понятие средней величины введено французским математиком первой половины ХIХ в. академиком О. Коши. Оно таково: средней величиной является любая функция f(X1, X2,…Xn) такая, что при всех возможных значениях аргументов значение этой функции не меньше, чем минимальное из чисел X1, X2,…Xn , и не больше, чем максимальное из этих чисел. Среднее по Колмогорову — частный случай среднего по Коши. Медиана и мода, хотя и не являются средними по Колмогорову, но тоже — средние по Коши.
При допустимом преобразовании шкалы значение средней величины, очевидно, меняется. Но выводы о том, для какой совокупности среднее больше, а для какой — меньше, не должны меняться (в соответствии с требованием инвариантности выводов, принятом как основное требование к выводам на основе анализа данных в РТИ). Сформулируем соответствующую математическую задачу поиска вида средних величин, результат сравнения которых устойчив относительно допустимых преобразований шкалы.
Пусть f(X1, X2,…,Xn) — среднее по Коши. Пусть среднее по первой совокупности меньше среднего по второй совокупности:
f(Y1, Y2,…,Yn) < f(Z1, Z2,…,Zn). (5.1)
Тогда согласно РТИ для устойчивости результата сравнения средних необходимо, чтобы для любого допустимого преобразования g из группы допустимых преобразований в соответствующей шкале было справедливо также неравенство
f(g(Y1), g(Y2),…, g(Yn)) < f(g(Z1), g(Z2),…, g(Zn)), (5.2)
т.е. среднее преобразованных значений из первой совокупности также было меньше среднего преобразованных значений для второй совокупности. Причем сформулированное условие должно быть верно для любых двух совокупностей Y1, Y2,…,Yn и Z1, Z2,…,Zn и, напомним, любого допустимого преобразования в рассматриваемой шкале. Согласно РТИ только такими средними можно пользоваться при анализе мнений экспертов и иных данных, измеренных в рассматриваемой шкале.
С помощью математической теории, развитой А.И.Орловым в 2020-х годах (см. монографию [4]), удается описать вид допустимых средних в основных шкалах:
в шкале наименований в качестве среднего годится только мода;
из всех средних по Коши в порядковой шкале в качестве средних можно использовать только члены вариационного ряда (порядковые статистики), в частности, медиану (при нечетном объеме выборки; при четном же объеме следует применять один из двух центральных членов вариационного ряда — как их иногда называют, левую медиану или правую медиану), но не среднее арифметическое, среднее геометрическое и т.д.;
в шкала интервалов из всех средних по Колмогорову можно применять только среднее арифметическое;
в шкале отношений из всех средних по Колмогорову устойчивыми относительно сравнения являются только степенные средние и среднее геометрическое.
Приведем численный пример, показывающий некорректность использования среднего арифметического f(X1, X2) = (X1+X2)/2 в порядковой шкале. Пусть Y1= 1, Y2 = 11, Z1 = 6, Z2 = 8. Тогда f(Y1, Y2) = 6, что меньше, чем f(Z1, Z2) = 7. Пусть строго возрастающее преобразование g таково, что g(1) = 1, g(6) = 6, g(8) = 8, g(11) = 99. Таких преобразований много. Например, можно положить g(x) = x при x, не превосходящих 8, и g(x) = 99(x-8)/3 + 8 = 33(х-8)+8 для х, больших 8. Тогда f(g(Y1), g(Y2)) = 50, что больше, чем f(g(Z1), g(Z2)) = 7. Как видим, в результате допустимого, т.е. строго возрастающего преобразования шкалы упорядоченность средних изменилась. Аналогичный результат получаем и при использовании преобразования g(x)=x2.
Приведенные результаты о средних величинах широко применяются, причем не только в теории экспертных оценок или социологии, но и, например, для анализа методов агрегирования датчиков в АСУ ТП доменных печей. Велико прикладное значение РТИ в задачах стандартизации и управления качеством, в частности, в квалиметрии. Здесь есть и интересные теоретические результаты. Так, например, любое изменение коэффициентов весомости единичных показателей качества продукции приводит к изменению упорядочения изделий по средневзвешенному показателю (эта теорема доказана В.В. Подиновским).
Рассмотрим в качестве примера один сюжет, связанный с ранжировками и рейтингами.
