Экспертные методы принятия решений в экологии. Нахождение итогового мнения комиссии экспертов — Орлов А.И.

А.И.Орлов

ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТЬЮ

5. Экспертные методы принятия решений в экологии

5.6. Математические методы анализа экспертных оценок

5.6.3. Нахождение итогового мнения комиссии экспертов

Пусть мнения комиссии экспертов или какой-то ее части признаны согласованными. Каково же итоговое (среднее, общее) мнение комиссии? Согласно идее Джона Кемени следует найти среднее мнение как решение оптимизационной задачи. А именно, надо минимизировать суммарное расстояние от кандидата в средние до мнений экспертов. Найденное таким способом среднее мнение называют "медианой Кемени".

Математическая сложность состоит в том, что мнения экспертов лежат в некотором пространстве объектов нечисловой природы. Общая теория подобного усреднения построена в ряде работ, в частности, показано, что в силу обобщения закона больших чисел среднее мнение при увеличении числа экспертов (чьи мнения независимы и одинаково распределены) приближается к некоторому пределу, который естественно назвать математическим ожиданием (случайного элемента, имеющего то же распределение, что и ответы экспертов).

В конкретных пространствах нечисловых мнений экспертов вычисление медианы Кемени может быть достаточно сложным делом. Кроме свойств пространства, велика роль конкретных метрик. Так, в пространстве ранжировок при использовании метрики, связанной с коэффициентом ранговой корреляции Кендалла, необходимо проводить достаточно сложные расчеты, в то время как применение показателя различия на основе коэффициента ранговой корреляции Спирмена приводит к упорядочению по средним рангам.

Бинарные отношения и расстояние Кемени. Как известно, бинарное отношение А на конечном множестве Q = {q₁ , q₂ ,…, q_k } — это подмножество декартова квадрата  Q² = { (q_m , q_n ), m,n = 1,2,…,k }. При этом пара (q_m , q_n ) входит в А тогда и только тогда, когда между q_m и q_n имеется рассматриваемое отношение.  

Каждую кластеризованную ранжировку, как и любое бинарное отношение, можно задать матрицей  || x(a, b) || из 0 и 1 порядка k x k. При этом x(a, b) = 1 тогда и только тогда, когда a < b либо a = b. В первом случае x(b, a) = 0, а во втором x(b, a) = 1. При этом хотя бы одно из чисел x(a, b) и x(b, a) равно 1.

Как использовать связь между ранжировками и матрицами? Например, из определения противоречивости  пары (a, b) (см. выше, пункт о теории измерений) вытекает, что для нахождения всех таких пар можно воспользоваться матрицами, соответствующими ранжировкам. Достаточно поэлементно перемножить две матрицы ||x(a,b)|| и ||y(a, b)||, соответствующие двум кластеризованным ранжировкам, и отобрать те и только те пары, для которых x(a,b)y(a,b)=x(b,a)y(b,a)=0.

В экспертных методах  используют, в частности, такие бинарные отношения, как ранжировки (упорядочения, или разбиения на группы, между которыми имеется строгий порядок), отношения эквивалентности, толерантности (отношения сходства). Как следует из сказанного выше, каждое бинарное отношение А можно описать матрицей || a(i,j) || из 0 и 1, причем a(i,j) = 1 тогда и только тогда, когда qi и qj находятся в отношении А, и a(i,j) = 0 в противном случае.

          Определение. Расстоянием Кемени между бинарными отношениями А и В, описываемыми матрицами || a(i,j) || и || b(i,j) || соответственно, называется число

    D (A, B) = ∑ │a(i,j) — b(i,j) │,

где суммирование производится по всем i,j от 1 до k, т.е. расстояние Кемени между бинарными отношениями равно сумме модулей разностей элементов, стоящих на одних и тех же местах в соответствующих им матрицах.

          Легко видеть, что расстояние Кемени — это число несовпадающих элементов в  матрицах || a(i,j) || и || b(i,j) ||  .

Расстояние Кемени основано на некоторой системе аксиом. Эта система аксиом и вывод из нее формулы для расстояния Кемени между упорядочениями содержится в книге [7], которая сыграла большую роль в развитии в нашей стране такого научного направления, как анализ нечисловой информации [4, 6]. В дальнейшем под влиянием Кемени были предложены различные системы аксиом для получения расстояний в тех или иных нужных для социально-экономических исследований пространствах, например, в пространствах  множеств [4].

Медиана Кемени и законы больших чисел. С помощью расстояния Кемени находят итоговое мнение комиссии экспертов. Пусть А₁ , А₂  ,  А₃  ,…, А_р  — ответы р экспертов, представленные в виде бинарных отношений. Для их усреднения используют т.н. медиану Кемени

Arg min ∑ D (A_i ,A) ,

где Arg min — то или те значения А, при которых достигает минимума указанная сумма расстояний Кемени от ответов экспертов до текущей переменной А, по которой и проводится минимизация. Таким образом,

∑ D (A_i ,A) = D (A₁ ,A) + D (A₂ ,A) + D (A₃ ,A) +…+ D (A_р ,A) .

Кроме медианы Кемени, используют среднее по Кемени, в котором  вместо D (A_i ,A) стоит D² (A_i ,A) .

Медиана Кемени — частный случай определения эмпирического среднего в пространствах нечисловой природы. Для нее справедлив закон больших чисел, т.е. эмпирическое среднее приближается при росте числа составляющих (т.е. р — числа слагаемых в сумме), к теоретическому среднему:

Arg min ∑ D (A_i ,A) → Arg min М D (A₁ , A) .

Здесь М — символ математического ожидания.  Предполагается, что ответы р экспертов А₁ , А₂  ,  А₃  ,…, А _р  есть основания рассматривать как независимые одинаково распределенные случайные элементы (т.е. как случайную выборку) в соответствующем пространстве произвольной природы, например, в пространстве упорядочений или отношений эквивалентности. Систематически эмпирические и теоретические средние и соответствующие законы больших чисел изучены в ряде работ (см., например, [4, 6]).

          Законы больших чисел показывают, во-первых, что медиана Кемени обладает устойчивостью по отношению к незначительному изменению состава экспертной комиссии; во-вторых, при увеличении числа экспертов она приближается к некоторому пределу. Его естественно рассматривать как истинное мнение экспертов, от которого каждый из них несколько отклонялся по случайным причинам.

          Рассматриваемый здесь закон больших чисел является обобщением известного в статистике "классического" закона больших чисел. Он основан на иной математической базе — теории оптимизации, в то время как "классический" закон больших чисел использует суммирование. Упорядочения и другие бинарные отношения нельзя складывать, поэтому приходится применять иную математику.

          Вычисление медианы Кемени — задача целочисленного программирования. В частности, для ее нахождения используется различные алгоритмы дискретной математики, в частности, основанные на методе ветвей и границ. Применяют также алгоритмы, основанные на идее случайного поиска, поскольку для каждого бинарного отношения нетрудно найти множество его соседей.

Рассмотрим пример вычисления медианы Кемени. Пусть дана квадратная матрица (порядка 9) попарных расстояний для множества бинарных отношений из 9 элементов А₁ , А₂ , А₃ ,…, А₉ (см. табл.5.3). Найти в этом множестве медиану для множества из 5 элементов {А₂ , А₄ , А₅ , А₈ , А₉}.

Табл. 5.3.

Матрица попарных расстояний

          В соответствии с определением медианы Кемени следует ввести в рассмотрение функцию

С(А) = ∑ D(A_i ,A) = D(A₂ ,A)+D(A₄ ,A)+D(A₅ ,A)+D(A₈ ,A)+D(A₉ ,A),

рассчитать ее значения для всех А₁ , А₂ , А₃ ,…, А₉ и выбрать наименьшее. Проведем расчеты:

С(А₁) = D (A₂ ,A₁) + D (A₄ ,A₁) + D (A₅ ,A₁) +D (A₈ ,A₁) + D (A₉ ,A₁) =

= 2 + 1 +7 +3 +11 = 24,

С(А₂) = D (A₂ ,A₂) + D (A₄ ,A₂) + D (A₅ ,A₂) +D (A₈ ,A₂) + D (A₉ ,A₂) =

= 0 + 6 + 1 + 5 + 1 = 13,

С(А₃) = D (A₂ ,A₃) + D (A₄ ,A₃) + D (A₅ ,A₃) +D (A₈ ,A₃) + D (A₉ ,A₃) =

= 5 + 2 + 2 + 5 +7 = 21,

С(А₄) = D (A₂ ,A₄) + D (A₄ ,A₄) + D (A₅ ,A₄) +D (A₈ ,A₄) + D (A₉ ,A₄) =

= 6 + 0 + 5 + 8 + 8 = 27,

С(А₅) = D (A₂ ,A₅) + D (A₄ ,A₅) + D (A₅ ,A₅) +D (A₈ ,A₅) + D (A₉ ,A₅) =

= 1 + 5 + 0 +3 + 7 = 16,

С(А₆) = D (A₂ ,A₆) + D (A₄ ,A₆) + D (A₅ ,A₆) +D (A₈ ,A₆) + D (A₉ ,A₆) =

= 3 + 4 + 10 + 1 + 5 = 23,

С(А₇) = D (A₂ ,A₇) + D (A₄ ,A₇) + D (A₅ ,A₇) +D (A₈ ,A₇) + D (A₉ ,A₇) =

= 2 + 3 +1 + 6 + 3 = 15,

С(А₈) = D (A₂ ,A₈) + D (A₄ ,A₈) + D (A₅ ,A₈) +D (A₈ ,A₈) + D (A₉ ,A₈) =

= 5 + 8 + 3 + 0 +9 = 25,

С(А₉) = D (A₂ ,A₉) + D (A₄ ,A₉) + D (A₅ ,A₉) +D (A₈ ,A₉) + D (A₉ ,A₉) =

= 1 + 8 + 7 + 9 + 0 = 25.

Из всех вычисленных сумм наименьшая равна 13, и достигается она при А = А₂, следовательно, медиана Кемени — это А₂ .